解答23:生きのびる確率は?(21年8月後半出題)

 答え→ツボは100個、または101個

 まずはツボが1個、そこに白玉100個・黒玉100個を入れる場合を考え、そこで死刑になる確率(黒玉をひく確率)を考えてみます。確率は「そのツボを選ぶ確率×そこから黒玉をひく確率」を計算し、それをすべてのツボ分足します。

ツボ1個の場合
ツボの名称 白玉 黒玉 そのツボをひく確率 各ツボから黒玉をひく確率 黒玉をひく(死刑となる)全体確率
ツボ1 100 100 1 0.5 0.5(50%)

 次にツボを1個ずつ増やして2個の場合を考えてみます。しかし各ツボに白玉50個・黒玉50個を同じように入れたのでは、次のように死刑の確率は0.5のままで変わりません。

ツボ2個の場合
ツボの名称 白玉 黒玉 そのツボをひく確率 各ツボから黒玉をひく確率 黒玉をひく(死刑となる)全体確率
ツボ1 50 50 0.5 0.5 0.25+0.25=0.5(50%)
ツボ2 50 50 0.5 0.5

 有利にするには次のように「白玉のみ」の入ったツボをつくることが必要です。こうすることによって、もし王様がツボ1を引いた時点で「よっしゃ!!」となるからです。 

ツボ2個の場合
ツボの名称 白玉 黒玉 そのツボをひく確率 各ツボから黒玉をひく確率 黒玉をひく(死刑となる)全体確率
ツボ1 1 0 0.5 0 0.2513(約25%)
ツボ2 99 100 0.5 0.5025

 このようにツボをどんどん増やしていき、そのツボのうちほとんどを「白玉のみ」で埋めてしまえば、死刑の確率はどんどん減っていきます。例えばツボが10個の場合を考えてみましょう。

ツボ10個の場合
ツボの名称 白玉 黒玉 そのツボをひく確率 各ツボから黒玉をひく確率 黒玉をひく(死刑となる)全体確率
ツボ1 1 0 0.1 0 0.0524(約5%)
ツボ2 1 0 0.1 0
ツボ3 1 0 0.1 0
ツボ4 1 0 0.1 0
ツボ5 1 0 0.1 0
ツボ6 1 0 0.1 0
ツボ7 1 0 0.1 0
ツボ8 1 0 0.1 0
ツボ9 1 0 0.1 0
ツボ10 91 100 0.1 0.5236

 ではどんどんツボを増やしていけばいいのかというと、そうでもありません。ツボは100個または101個の時が死刑の確率はもっとも減ります。ちなみにツボが100個の時を考えてみましょう。この場合、ツボ1〜ツボ99までのどれかを選んでくれた時点で「無罪放免」が決定します。ただし、ツボ100を選ばれてしまうとほぼ死刑が確定してしまいますが、その確率は1%ですから…  

ツボ100個の場合
ツボの名称 白玉 黒玉 そのツボをひく確率 各ツボから黒玉をひく確率 黒玉をひく(死刑となる)全体確率
ツボ1 1 0 0.01 0 0.0099(約1%)
ツボ2 1 0 0.01 0
ツボ98 1 0 0.01 0
ツボ99 1 0 0.01 0
ツボ100 1 100 0.01 0.9901

 ツボが101個でも計算上は同じ事なのですが、102個を越えると今度は「黒玉のみ」というツボができあがってしまい、死刑の確率は増えていってしまいます。そしてツボの数が200個になるとすべてのツボに200個の玉が1個ずつ入ることになり、再び死刑の確率はもとどおりの50%に戻ってしまいます。 

 まぁどれだけ確率を考えても、運が悪い人は死刑になってしまう、それが確率の「数学らしくない」ところなんですけどね。

 

 

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