解答２３：生きのびる確率は？（２１年８月後半出題）
答え→ツボは１００個、または１０１個
まずはツボが１個、そこに白玉１００個・黒玉１００個を入れる場合を考え、そこで死刑になる確率（黒玉をひく確率）を考えてみます。確率は「そのツボを選ぶ確率×そこから黒玉をひく確率」を計算し、それをすべてのツボ分足します。
| ツボ１個の場合 | |||||
| ツボの名称 | 白玉 | 黒玉 | そのツボをひく確率 | 各ツボから黒玉をひく確率 | 黒玉をひく（死刑となる）全体確率 |
| ツボ１ | 100 | 100 | 1 | 0.5 | 0.5(50%) |
次にツボを１個ずつ増やして２個の場合を考えてみます。しかし各ツボに白玉５０個・黒玉５０個を同じように入れたのでは、次のように死刑の確率は0.5のままで変わりません。
| ツボ２個の場合 | |||||
| ツボの名称 | 白玉 | 黒玉 | そのツボをひく確率 | 各ツボから黒玉をひく確率 | 黒玉をひく（死刑となる）全体確率 |
| ツボ１ | 50 | 50 | 0.5 | 0.5 | 0.25+0.25=0.5(50%) |
| ツボ２ | 50 | 50 | 0.5 | 0.5 | |
有利にするには次のように「白玉のみ」の入ったツボをつくることが必要です。こうすることによって、もし王様がツボ１を引いた時点で「よっしゃ！！」となるからです。
| ツボ２個の場合 | |||||
| ツボの名称 | 白玉 | 黒玉 | そのツボをひく確率 | 各ツボから黒玉をひく確率 | 黒玉をひく（死刑となる）全体確率 |
| ツボ１ | 1 | 0 | 0.5 | 0 | 0.2513(約25%) |
| ツボ２ | 99 | 100 | 0.5 | 0.5025 | |
このようにツボをどんどん増やしていき、そのツボのうちほとんどを「白玉のみ」で埋めてしまえば、死刑の確率はどんどん減っていきます。例えばツボが１０個の場合を考えてみましょう。
| ツボ１０個の場合 | |||||
| ツボの名称 | 白玉 | 黒玉 | そのツボをひく確率 | 各ツボから黒玉をひく確率 | 黒玉をひく（死刑となる）全体確率 |
| ツボ１ | 1 | 0 | 0.1 | 0 | 0.0524(約5%) |
| ツボ２ | 1 | 0 | 0.1 | 0 | |
| ツボ３ | 1 | 0 | 0.1 | 0 | |
| ツボ４ | 1 | 0 | 0.1 | 0 | |
| ツボ５ | 1 | 0 | 0.1 | 0 | |
| ツボ６ | 1 | 0 | 0.1 | 0 | |
| ツボ７ | 1 | 0 | 0.1 | 0 | |
| ツボ８ | 1 | 0 | 0.1 | 0 | |
| ツボ９ | 1 | 0 | 0.1 | 0 | |
| ツボ１０ | 91 | 100 | 0.1 | 0.5236 | |
ではどんどんツボを増やしていけばいいのかというと、そうでもありません。ツボは１００個または１０１個の時が死刑の確率はもっとも減ります。ちなみにツボが１００個の時を考えてみましょう。この場合、ツボ１〜ツボ９９までのどれかを選んでくれた時点で「無罪放免」が決定します。ただし、ツボ１００を選ばれてしまうとほぼ死刑が確定してしまいますが、その確率は１％ですから…
| ツボ１００個の場合 | |||||
| ツボの名称 | 白玉 | 黒玉 | そのツボをひく確率 | 各ツボから黒玉をひく確率 | 黒玉をひく（死刑となる）全体確率 |
| ツボ１ | 1 | 0 | 0.01 | 0 | 0.0099(約1%) |
| ツボ２ | 1 | 0 | 0.01 | 0 | |
| … | |||||
| ツボ９８ | 1 | 0 | 0.01 | 0 | |
| ツボ９９ | 1 | 0 | 0.01 | 0 | |
| ツボ１００ | 1 | 100 | 0.01 | 0.9901 | |
ツボが１０１個でも計算上は同じ事なのですが、１０２個を越えると今度は「黒玉のみ」というツボができあがってしまい、死刑の確率は増えていってしまいます。そしてツボの数が２００個になるとすべてのツボに２００個の玉が１個ずつ入ることになり、再び死刑の確率はもとどおりの５０％に戻ってしまいます。
まぁどれだけ確率を考えても、運が悪い人は死刑になってしまう、それが確率の「数学らしくない」ところなんですけどね。